Logical puzzles

Sestavte desetimístné číslo složené z číslic 0, 1, ..., 9 (každá číslice je použita právě jednou), které má následující vlastnost: první dvojčíslí je dělitelné dvěma, první trojčíslí je dělitelné třemi, první čtyřčíslí je dělitelné čtyřmi atd., až celé desetičíslí je dělitelné deseti.
Kolik má úloha řešení?

Show/hide solution:

Úloha má jediné řešení 3816547290.
Jednotlivé číslice si označme ABCDEFGHIJ. Je jasné, že J = 0 a tudíž E = 5. Na sudých pozicích musí být sudé číslice a naopak na lichých liché číslice.
Aby bylo ABCD dělitelné 4 musí být CD dělitelně 4. Pro splněni C liché a D sudé zjistíme, že D je 2 nebo 6.
Součet A+B+C je dělitelný 3, a proto D+E+F musí být dělitelné 3 a navíc F sudé. Z toho nám pro DEF zůstávají pouze kombinace 258 a 654.
Trojčíslí FGH musí být dělitelné 8. Pro F je 8 nebo 4 vyplívá, že i GH musí být dělitené 8 a G je liché a H sudé. Zůstávají nám tedy kombinace GH = 16;32;72;96.
Přidáme vhodné GH k již nalezeným DEF a dostáváme pouze 4 kombinace DEFGH = 25816;25896;65432;65472. První a třetí variantu můžeme vyloučit, protože nenajdeme vhodné I, aby byl součet G+H+I = 18 (G+H+I musí být číslo dělitelné 9 a sudé).
Zůstavají nám dvě možnosti DEFGHI = 258963;654729. První implikuje B = 4 a pro A a C zůstavají číslice 1 a 7 tím, ale nikdy nedostaneme ABCDEFG dělitelné 7. Druhá možnost implikuje B = 8 a pro A a C zůstavají číslice 1 a 3. Jediná kombinace splňující navíc dělitelnost 7 je 3816547290.

» Gallery » Logical puzzles 101111101010100011