Logical puzzles

Vezmeme dvě libovolná čísla složená ze stejných číslic, například 8871 a 8178. Jejich rozdíl 693 je beze zbytku dělitelný devíti. Totéž platí pro libovolná dvě celá čísla složená ze stejných číslic.
Proč tomu tak je? Dokažte tuto vlastnost pro všechny dvojice přirozených čísel složených ze stejných číslic.

Show/hide solution:

Vezměme libovolné přirozené číslo a jeho číslice si označme a₁...a_n. Jiné číslo složené ze stejných číslic dostaneme postupným prohazováním dvojice číslic. Odečtením totožných číslic dostaneme 0 (ta je bezezbytku dělitelná 9). Provedeme jedno prohození číslic a podíváme se na rozdíl (bez újmy na obecnosti odečítáme menší číslo od většího):
a₁...a_i...a_j...a_n
-a₁...a_j...a_i...a_n
=0...0(a_i-a_j-1)9...9(10+a_j-a_i)0...0
Číslo je dělitelné 9 právě když je součet cifer dělitelný 9. Součet cifer rozdílu je a_i-a_j-1 + k*9 + 10+a_j-a_i = (k+1)*9 a to je jistě dělitelné 9.
Prohozením dalších dvou číslic se rozdíl (od původního čísla) zmenší nebo zvětší opět o číslo dělitelné 9. Takže celkový rozdíl zůstává dělitelný 9.

» Gallery » Logical puzzles 101110100111010110