Tyto stránky používají soubory cookie k uchování uživatelského nastavení, personalizaci reklam (hostitelský server webzdarma.cz) a analýze návštěvnosti. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte.
111101100011111011
000000101011
010111
001101100000000000
100100011100
011100
 ¤ Kontakt ¤ 
 ¤ Možnosti ¤ 
 ¤ Aktualizace ¤ 
 ¤ Stop potratům ¤ 
Rychlá řešení dlouho bolí
Čekáte-li nečekané dítě
 ¤ HEX Počítadlo ¤ 
2 8 f 0 c
 ¤ Certifikace ¤ 
Valid HTML 4.01 Valid CSS Valid RSS 2.0

» Galerie » Logické hádanky  001101001000000010 

Lomená čára - obtížnost 5.9 (původní obtížnost 7)
Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC. Z vrcholu A vede do vrcholu B lomená čára, jejíž úseky jsou kolmé střídavě k odvěsně BC a k přeponě AB. Celková délka lomené čáry je 260.
Delší lomená čára
Z vrcholu B vede do vrcholu A lomená čára, jejíž úseky jsou kolmé střídavě k odvěsně AC a k přeponě AB. Celková délka lomené čáry je 78.
Kratší lomená čára
Jaké jsou rozměry všech tří stran trojúhelníku?
Pro pravoúhlý trojúhelník platí: a*a = c*ca, kde ca je průmět strany a do přepony c. Tedy výška na c dělí přeponu c na ca a cb.
ca/cb = (a*a)/(b*b) a v tomto poměru je rozdělena c. Takže když se vydáme z bodu A k C a potom k přeponě, urazíme vzdálenost b + vc a dostáváme menší trojúhelník, jehož strany se zmenšili (a*a)/((a*a)+(b*b)) krát.
Z věty o výškách:
va:vb:vc je ve stejném poměru jako (1/a):(1/b):(1/c)
dostáváme vc = (a*b)/c.
Celokovou délku lomené čáry z A do B vyjádříme jako nekonečnou sumu:
suma(i=0..nekonečno) (b+vc)*((a*a)/((a*a)+(b*b)))i = (b+vc)*suma(i=0..nekonečno) ((a*a)/((a*a)+(b*b)))i = (b+(a*b)/c)*suma(i=0..nekonečno) ((a*a)/((a*a)+(b*b)))i
Nekonečná suma je klasická geometrická posloupnost, jejíž součet je 1/(1-q), kde q = (a*a)/((a*a)+(b*b)) < 1.
Délka lomené čáry z A do B je po úpravách (b*c)/(c-a) = 260. A analogicky pro lomenou čáru z B do A (a*c)/(c-b) = 78. Společně s c*c = a*a + b*b máme 3 rovnice o 3 neznámých.
Pomocí různých úprav se mi podařilo zjistit, že 0 < 0,3a < b < a < 78. Předpokládal jsem, že řešení je celočíselné a pomocí počítače jsem dospěl k řešení a = 48, b = 20, c = 52.
Věřím, že to lze řešit elegantněji.
Obtížnost:12345678910
 ¤ TOP ¤ 
 ¤ Kalendář ¤ 
 ¤ Vyhledávání ¤ 
 ¤ Biblenet ¤ 
Verš:
Zpět nahoru
Copyright © 2004-2017 Tomáš Vala
Optimalizováno pro Firefox
Mapa stránek | Mobilní verze | A+ A A-