Wallis  » Gallery » Logical puzzles

Průnik válců - difficulty 8.5 (former difficulty 7)
Mějme dva válce (dostatečně dlouhé), jejichž poloměr podstavy je stejný (např. R). Umístíme je do prostoru tak, aby byly jejich osy navzájem kolmé a protínaly se v těžišti obou válců.
Úkolem je spočítat objem tělesa tvořeného průnikem těchto válců. Nejlépe bez použití kalkulu (integrace). Archimedes to dokázal s využitím vzorců pro obsah kruhu a objem koule.
Show/hide solution:
Umístíme oba válce vodorovně a budeme zkoumat vodorovné řezy průnikovým tělesem. Každý z těchto řezů je čtverec a přesně uprostřed má stranu 2R. Průnikové těleso se skládá z 8 stejných částí (různě zrcadlově převracených) - vzniknou rozdělením tělesa na jednotlivé kvadranty souřadných os. Označme si je pojmem osminka.
Vezměme pro jednoduchost pouze jedenu osminku. Místo toho, abychom počítali objem osminky, spočítáme, jaký je objem doplňku na obalové krychli o straně R (tato krychle má objem R^3).
Když budeme opět zkoumat vodorovné řezy osminkou ve výšce H, zjistíme, že tvoří opět čtverce o straně K. Jeho obsah je K^2 a z Pythagorovy věty víme, že K^2 = R^2 - H^2. Zbylá část má tedy obsah R^2 - K^2 = H^2 a to nám nápadně připomíná jiné těleso, které má obsah řezu ve výšce H roven H^2. Jedná se o jehlan s podstavou o straně R a výšce také R. Jeho objem tedy musí být roven objemu doplňkové části a tedy (R^3)/3. Objem osminky je tedy R^3 - (R^3)/3 = 2*(R^3)/3.
Celkový objem průnikového tělesa je tedy 8*2*(R^3)/3 = 16*(R^3)/3.
Ke stejnému výsledku dospějeme i tak, že průnikovému tělesu vepíšeme kouli. V každém řezu je to pak čtverec, kterému je vepsán kruh. Poměr obsahu kruhu ke čtverci je pí/4. A tedy poměr objem koule a průnikového tělesa je pí/4. Objemové těleso má tedy objem (4/pí) * (4/3)*pí*(R^3) = 16*(R^3)/3.
Discussion | Back
Difficulty:12345678910