Tyto stránky používají soubory cookie k uchování uživatelského nastavení, personalizaci reklam (hostitelský server webzdarma.cz) a analýze návštěvnosti. Používáním tohoto webu s tím souhlasíte.
101001101100111111
110111001100
101000
000001110010110011
010011100111
101001
 ¤ Kontakt ¤ 
 ¤ Možnosti ¤ 
 ¤ Aktualizace ¤ 
 ¤ Stop potratům ¤ 
Rychlá řešení dlouho bolí
Čekáte-li nečekané dítě
 ¤ HEX Počítadlo ¤ 
2 8 f 3 d
 ¤ Certifikace ¤ 
Valid HTML 4.01 Valid CSS Valid RSS 2.0

» Galerie » Logické hádanky  111101001000000001 

Součet po sobě jdoucích čísel - obtížnost 4.7 (původní obtížnost 6)
Číslo 10 můžeme napsat jako 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Číslo 21 můžeme napsat jako 21 = 6 + 7 + 8.
Která přirozená čísla nelze vyjádřit jako součet několika po sobě jdoucích přirozených čísel? Dokažte.
Součet po sobě jdoucích čísel je dán následujícím vztahem:
p + (p+1) + ... + q = (p+q)*(q-p+1)/2
Po vyzkoušení několika prvních čísel, zjistíme, že 1, 2, 4, 8 a 16 nejdou napsat jako součet alespoň dvou po sobě jdoucích čísel. Ověříme, že ani ostatní mocniny dvojky nejdou podobně vyjářit.
Vezměme libovolné číslo x a vyjádřeme ho jako součet po sobě jdoucíh čísel:
x = p + (p+1) + ... + q = (p+q)*(q-p+1)/2, potom
2*x = (p+q)*(q-p+1) = A*B pro A = (p+q) a B = (q-p+1)
A + B = 2*q - 1, a proto právě jedno z čísel A nebo B je liché. Takže 2*x musí být vyjádřitelné jako součin lichého a sudého čísla, což pro mocniny dvojky určitě nejde.
Zbývá dokázat, že pro všechna ostatní čísla to jde. Číslo x si rozložíme na prvočísla, vybereme libovolné z nich (kromě dvojky) a označíme ho p.
x = (x/p - (p-1)/2) + ... + (x/p) + ... + (x/p + (p-1)/2)
Využíváme toho, že p dělí x a p je liché (není to dvojka).
Obtížnost:12345678910
 ¤ TOP ¤ 
 ¤ Kalendář ¤ 
 ¤ Vyhledávání ¤ 
 ¤ Biblenet ¤ 
Verš:
Zpět nahoru
Copyright © 2004-2017 Tomáš Vala
Optimalizováno pro Firefox
Mapa stránek | Mobilní verze | A+ A A-