This website uses cookies to store your personal settings, to personalize advertisements (by hosting webzdarma.cz) and to analyze visit rate. By using this web you agree with it.
100100001001000111
011011111101
011010
101001010001001101
100011111100
111000
 ¤ Contact ¤ 
 ¤ Options ¤ 
 ¤ Actualization ¤ 
 ¤ Stop potratům ¤ 
Rychlá řešení dlouho bolí
Čekáte-li nečekané dítě
 ¤ HEX Counter ¤ 
3 0 4 b e
 ¤ Certificate ¤ 
Valid HTML 4.01 Valid CSS Valid RSS 2.0

» Gallery » Logical puzzles  110000110001001101 

Součet po sobě jdoucích čísel - difficulty 4.5 (former difficulty 6)
Číslo 10 můžeme napsat jako 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Číslo 21 můžeme napsat jako 21 = 6 + 7 + 8.
Která přirozená čísla nelze vyjádřit jako součet několika po sobě jdoucích přirozených čísel? Dokažte.
Součet po sobě jdoucích čísel je dán následujícím vztahem:
p + (p+1) + ... + q = (p+q)*(q-p+1)/2
Po vyzkoušení několika prvních čísel, zjistíme, že 1, 2, 4, 8 a 16 nejdou napsat jako součet alespoň dvou po sobě jdoucích čísel. Ověříme, že ani ostatní mocniny dvojky nejdou podobně vyjářit.
Vezměme libovolné číslo x a vyjádřeme ho jako součet po sobě jdoucíh čísel:
x = p + (p+1) + ... + q = (p+q)*(q-p+1)/2, potom
2*x = (p+q)*(q-p+1) = A*B pro A = (p+q) a B = (q-p+1)
A + B = 2*q - 1, a proto právě jedno z čísel A nebo B je liché. Takže 2*x musí být vyjádřitelné jako součin lichého a sudého čísla, což pro mocniny dvojky určitě nejde.
Zbývá dokázat, že pro všechna ostatní čísla to jde. Číslo x si rozložíme na prvočísla, vybereme libovolné z nich (kromě dvojky) a označíme ho p.
x = (x/p - (p-1)/2) + ... + (x/p) + ... + (x/p + (p-1)/2)
Využíváme toho, že p dělí x a p je liché (není to dvojka).
Difficulty:12345678910
 ¤ TOP ¤ 
 ¤ Searching ¤ 
 ¤ Biblenet ¤ 
Verse:
Back to top
Copyright © 2004-2020 Tomáš Vala
Optimized for Firefox
Website map | Mobile version | A+ A A-