Logické hádanky

Na zemi vypukla zákeřná nemoc. Tato nemoc je velice krutá, a po čase zabíjí každého, který tuto nemoc dostane (bez výjimky). Žádné účinné léky pro tuto nemoc neexistují. Nicméně tato nemoc zasáhne pouze jednoho člověka z desetitisíce.
Tomáš si dělá starosti o své zdraví, a proto se rozhodne, že zajde k lékaři, aby mu stanovil diagnózu. Lékař mu vysvětlí, že vyšetření na tuto chorobu je úspěšné v 99 % případů (nezávisle na tom, zde nemoc máte nebo ne). To znamená, že v 1 % případů lékař určí špatnou diagnózu.
Tomáš podstoupí vyšetření a za chvíli se dozví výsledek - je pozitivní (podle lékařů tuto nemoc skutečně má). Má začít sepisovat poslední vůli? Jaká je pravděpodobnost, že nemoc skutečně má?

Ukázat/skrýt řešení:

Pravděpodobnost, že je skutečně nemocný je 1/102 (to je asi 0,98%).
Výsledek vychází z Bayesovy rovnice pro podmíněnou pravděpodobnost:
P(nemocný|pozitivní) = P(pozitivní|nemocný)*P(nemocný) / (P(pozitivní|nemocný)*P(nemocný) + P(pozitivní|zdravý)*P(zdravý))
kde:
P(nemocný) znamená pravděpodobnost, že je člověk nemocný a tedy P(nemocný) = 1/10000.
P(zdravý) znamená pravděpodobnost, že je člověk zdravý a tedy P(zdravý) = 1 - P(nemocný) = 1 - 1/10000.
P(pozitivní|nemocný) znamená pravděpodobnost, že test byl pozitivní za podmínky, že testovaný člověk byl skutečně nemocný a tedy P(pozitivní|nemocný) = 0,99.
P(pozitivní|zdravý) znamená pravděpodobnost, že test byl pozitivní za podmínky, že testovaný člověk byl skutečně zdravý a tedy P(pozitivní|zdravý) = 1 - P(pozitivní|nemocný) = 0,01.
P(nemocný|pozitivní) znamená pravděpodobnost, že je člověk skutečně nemocný když mu vyšel pozitivní test. A To je hledaná pravděpodobnost.

» Galerie » Logické hádanky 111001100110000010