» Main » Messages 000001101110010010

Kachna přežije. Následující důkaz není nejelegantnější, ale je snad jednoznačný a matematicky jednoduchý.
Důkaz spočívá v tom, že nalezneme bod, odkud kachna může plavat ke břehu po přímce nejkratší trasou a zároveň pro něj platí, že střed rybníka je mezi tímto bodem a kočkou. Pokud je trasa kachny z tohoto bodu menší než 1/4 trasy kočky a pokud se kachna na tento bod dokáže dostat, vše stihne a vyhraje.

1. Podaří se kachně dostat do bodu, kde střed rybníka je mezi tímto bodem a kočkou?
Představme si, že se kachna bude pohybovat po kružnici se středem ve středu rybníka a poloměrem 1/4 R, kde R je poloměr rybníka. Pokud bude kachna plavat po této kružnici a kočka poběží po břehu, budou mít obě stejnou úhlovou rychlost. Pro jakoukoliv kružnici, která má menší poloměr než 1/4 R platí, že kachna má větší úhlovou rychlost něž kočka a tedy se jí podaří dostat do místa, kde střed rybníka je mezi ní a kočkou. Pro kružnici s větším poloměrem se jí to nepodaří.
2. Pokud by se kachně podařilo dostat na kružnici s poloměrem 1/4 R do místa, kde střed rybníka je mezi ní a kočkou, dostane se včas ke břehu?
Musí uplavat vzdálenost 3/4 R, kočka musí uběhnout 3,14 R, což je více než 4x dráha kachny - kachna tedy vyhraje. Kružnice s poloměrem 1/4 R je tedy hranicí, ze které se kachna dostane včas ke břehu, ale už nestihne doplavat do místa, kde je střed rybníka mezí ní a kočkou.
3. Jaký je minimální poloměr kružnice, po které musí kachna plavat, aby se pak stihla dostat po přímce k břehu?
Poloměr takové kružnice označme A a musí pro něj platit, že 4(R-A) < 3,14 R.
(R-A) je trasa, kterou musí uplavat kachna, 3,14 R je dráha, kterou poběží kočka.
Vyřešením rovnice dostáváme, že pro kružnici musí platit A > 0,215 R.
4. Z toho vyplývá, že kachna přežije takto:
Dostane se na kružnici s poloměrem větším než 0,215 R a menším než 0,25 R, bude plavat po této kružnici kolem středu rybníka, dokud střed nebude mezi ní a kočkou, a pak si to namíří přímo ke břehu.

Podotýkám, že to určitě není optimální trasa, ale zato je dokazatelná jednoduchou matematikou.