חידות לוגיות

Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC. Z vrcholu A vede do vrcholu B lomená čára, jejíž úseky jsou kolmé střídavě k odvěsně BC a k přeponě AB. Celková délka lomené čáry je 260.
Delší lomená čára

Z vrcholu B vede do vrcholu A lomená čára, jejíž úseky jsou kolmé střídavě k odvěsně AC a k přeponě AB. Celková délka lomené čáry je 78.
Kratší lomená čára

Jaké jsou rozměry všech tří stran trojúhelníku?

Show/hide solution:

Pro pravoúhlý trojúhelník platí: a*a = c*c_a, kde c_a je průmět strany a do přepony c. Tedy výška na c dělí přeponu c na c_a a c_b.
c_a/c_b = (a*a)/(b*b) a v tomto poměru je rozdělena c. Takže když se vydáme z bodu A k C a potom k přeponě, urazíme vzdálenost b + v_c a dostáváme menší trojúhelník, jehož strany se zmenšili (a*a)/((a*a)+(b*b)) krát.
Z věty o výškách:
v_a:v_b:v_c je ve stejném poměru jako (1/a):(1/b):(1/c)
dostáváme v_c = (a*b)/c.
Celokovou délku lomené čáry z A do B vyjádříme jako nekonečnou sumu:
suma(i=0..nekonečno) (b+v_c)*((a*a)/((a*a)+(b*b)))ⁱ = (b+v_c)*suma(i=0..nekonečno) ((a*a)/((a*a)+(b*b)))ⁱ = (b+(a*b)/c)*suma(i=0..nekonečno) ((a*a)/((a*a)+(b*b)))ⁱ
Nekonečná suma je klasická geometrická posloupnost, jejíž součet je 1/(1-q), kde q = (a*a)/((a*a)+(b*b)) < 1.
Délka lomené čáry z A do B je po úpravách (b*c)/(c-a) = 260. A analogicky pro lomenou čáru z B do A (a*c)/(c-b) = 78. Společně s c*c = a*a + b*b máme 3 rovnice o 3 neznámých.
Pomocí různých úprav se mi podařilo zjistit, že 0 < 0,3a < b < a < 78. Předpokládal jsem, že řešení je celočíselné a pomocí počítače jsem dospěl k řešení a = 48, b = 20, c = 52.
Věřím, že to lze řešit elegantněji.

» גלריה » חידות לוגיות 110100110011110000