This website uses cookies to store your personal settings, to personalize advertisements (by hosting webzdarma.cz) and to analyze visit rate. By using this web you agree with it.
100010111101001111
001011011000
010101
010101001000110100
001011110111
111001
 ¤ Contact ¤ 
 ¤ Options ¤ 
 ¤ Actualization ¤ 
 ¤ Stop potratům ¤ 
Rychlá řešení dlouho bolí
Čekáte-li nečekané dítě
 ¤ HEX Counter ¤ 
2 f 8 e c
 ¤ Certificate ¤ 
Valid HTML 4.01 Valid CSS Valid RSS 2.0

» Gallery » Logical puzzles  011110001111110010 

Lomená čára - difficulty 5.9 (former difficulty 7)
Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC. Z vrcholu A vede do vrcholu B lomená čára, jejíž úseky jsou kolmé střídavě k odvěsně BC a k přeponě AB. Celková délka lomené čáry je 260.
Delší lomená čára
Z vrcholu B vede do vrcholu A lomená čára, jejíž úseky jsou kolmé střídavě k odvěsně AC a k přeponě AB. Celková délka lomené čáry je 78.
Kratší lomená čára
Jaké jsou rozměry všech tří stran trojúhelníku?
Pro pravoúhlý trojúhelník platí: a*a = c*ca, kde ca je průmět strany a do přepony c. Tedy výška na c dělí přeponu c na ca a cb.
ca/cb = (a*a)/(b*b) a v tomto poměru je rozdělena c. Takže když se vydáme z bodu A k C a potom k přeponě, urazíme vzdálenost b + vc a dostáváme menší trojúhelník, jehož strany se zmenšili (a*a)/((a*a)+(b*b)) krát.
Z věty o výškách:
va:vb:vc je ve stejném poměru jako (1/a):(1/b):(1/c)
dostáváme vc = (a*b)/c.
Celokovou délku lomené čáry z A do B vyjádříme jako nekonečnou sumu:
suma(i=0..nekonečno) (b+vc)*((a*a)/((a*a)+(b*b)))i = (b+vc)*suma(i=0..nekonečno) ((a*a)/((a*a)+(b*b)))i = (b+(a*b)/c)*suma(i=0..nekonečno) ((a*a)/((a*a)+(b*b)))i
Nekonečná suma je klasická geometrická posloupnost, jejíž součet je 1/(1-q), kde q = (a*a)/((a*a)+(b*b)) < 1.
Délka lomené čáry z A do B je po úpravách (b*c)/(c-a) = 260. A analogicky pro lomenou čáru z B do A (a*c)/(c-b) = 78. Společně s c*c = a*a + b*b máme 3 rovnice o 3 neznámých.
Pomocí různých úprav se mi podařilo zjistit, že 0 < 0,3a < b < a < 78. Předpokládal jsem, že řešení je celočíselné a pomocí počítače jsem dospěl k řešení a = 48, b = 20, c = 52.
Věřím, že to lze řešit elegantněji.
Difficulty:12345678910
 ¤ TOP ¤ 
 ¤ Searching ¤ 
 ¤ Biblenet ¤ 
Verse:
Back to top
Copyright © 2004-2020 Tomáš Vala
Optimized for Firefox
Website map | Mobile version | A+ A A-