This website uses cookies to ensure you get the best experience on the website.
000101101000011100
001001101101
011110
010001000111101110
101100000011
101101
 ¤ קונטקט ¤ 
 ¤ אפשרויות ¤ 
 ¤ עדכון ¤ 
 ¤ Stop potratům ¤ 
Rychlá řešení dlouho bolí
Čekáte-li nečekané dítě
 ¤ HEX מונה ¤ 
2 e 6 3 6
 ¤ תעודה ¤ 
Valid HTML 4.01 Valid CSS Valid RSS 2.0

» גלריה » חידות לוגיות  011000011111001010 

Součet po sobě jdoucích čísel - difficulty 4.7 (former difficulty 6)
Číslo 10 můžeme napsat jako 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Číslo 21 můžeme napsat jako 21 = 6 + 7 + 8.
Která přirozená čísla nelze vyjádřit jako součet několika po sobě jdoucích přirozených čísel? Dokažte.
Součet po sobě jdoucích čísel je dán následujícím vztahem:
p + (p+1) + ... + q = (p+q)*(q-p+1)/2
Po vyzkoušení několika prvních čísel, zjistíme, že 1, 2, 4, 8 a 16 nejdou napsat jako součet alespoň dvou po sobě jdoucích čísel. Ověříme, že ani ostatní mocniny dvojky nejdou podobně vyjářit.
Vezměme libovolné číslo x a vyjádřeme ho jako součet po sobě jdoucíh čísel:
x = p + (p+1) + ... + q = (p+q)*(q-p+1)/2, potom
2*x = (p+q)*(q-p+1) = A*B pro A = (p+q) a B = (q-p+1)
A + B = 2*q - 1, a proto právě jedno z čísel A nebo B je liché. Takže 2*x musí být vyjádřitelné jako součin lichého a sudého čísla, což pro mocniny dvojky určitě nejde.
Zbývá dokázat, že pro všechna ostatní čísla to jde. Číslo x si rozložíme na prvočísla, vybereme libovolné z nich (kromě dvojky) a označíme ho p.
x = (x/p - (p-1)/2) + ... + (x/p) + ... + (x/p + (p-1)/2)
Využíváme toho, že p dělí x a p je liché (není to dvojka).
Difficulty:12345678910
 ¤ עשירייה ¤ 
 ¤ חיפוש ¤ 
 ¤ Biblenet ¤ 
פסוק:
חזרה למעלה
Copyright © 2004-2019 Tomáš Vala
אופטימלי עבור Firefox
מפת האתר | גירסה ניידת | A+ A A-