Logical puzzles

Je dán trojúhelník ABC a vnitřní bod D (obrázek je pouze ilustrativní):

Známe velikosti následujících úhlů:
DAB = 10°
CAD = 30°
ACD = 20°
DCB = 20°
Dopočítejte zbývající úhly (ADC, ADB, ABD, BDC, DBC) v trojúhelníku přesně (tedy ne např. zaokrouhlením na dvě desetinná místa).

Show/hide solution:

Úhel ADC je zjevně 130° (součet úhlů v trojúhelníku je 180°).
Sečtením úhlů DAB+CAD = ACD+DCB = 40° zjistíme, že trojúhelník ABC je rovnoramenný (AB = BC). Potom úhel ABC = 100°.
Když si zvolíme stranu AC = 1 a zkusíme zbylé strany a úhly dopočítat (nepřesně se zaokrouhlením) pomocí sinové a kosinové věty, tak zjistíme, že strana BC má velmi podobnou délku jako DC. Zkusíme to ověřit přesně.
BC = sin40/sin100 = sin40/sin80 = sin40/(2*sin40*cos40) = 1/(2*cos40)
CD = sin30/sin130 = (1/2)/sin50 = 1/(2*sin50)
A protože sin50 = cos40 tak i BC = CD, a proto se jedná o rovnoramenný trojúhelník. Zbývající dva úhly (BDC, DBC) v trojúhelníku BCD jsou tedy stejné a vychází 80°.
Úhel ABD je pak 100° - 80° = 20° a úhel ADB je 180° - 20° - 10° = 150°.

» Gallery » Logical puzzles 000110001110100100